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（理）在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的中心在原點，它的一個焦點坐標為(

，0)，

=(2，1)、

=(2，-1)分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線C上的點P，其中

（m，n∈R），則m，n滿足的一個等式是

4mn=1

．

分析：根據

=(2，1)、

=(2，-1)是漸進線方向向量，進而可知雙曲線漸近線方程，根據一個焦點坐標(

，0)，進而求得a和b，求得雙曲線方程，進而根據

，P在雙曲線上，化簡即可．

解答：解：因為c=

，所以

=(2，1)、

=(2，-1)是漸進線方向向量，
所以雙曲線漸近線方程為y=±

x，
又c=

，a=2，b=1雙曲線方程為

=1，

=（2m+2n，m-n），
點P是雙曲線C上的點，
所以

(2m+n)2

-(m-n)2=1，化簡得4mn=1．
故答案為：4mn=1．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了向量的綜合應用，學生分析問題和解決問題的能力．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•楊浦區二模）（理）在平面直角坐標系xoy中，若在曲線C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ為正實數）代替（x，y）得到曲線C₂的方程F（λx，λy）=0，則稱曲線C₁、C₂關于原點“伸縮”，變換（x，y）→（λx，λy）稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比．
（1）已知曲線C₁的方程為

=1，伸縮比λ=2，求C₁關于原點“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程；
（2）射線l的方程y=

x(x≥0)，如果橢圓C₁：

=1經“伸縮變換”后得到橢圓C₂，若射線l與橢圓C₁、C₂分別交于兩點A、B，且|AB|=

，求橢圓C₂的方程；
（3）對拋物線C₁：y²=2p₁x，作變換（x，y）→（λ₁x，λ₁y），得拋物線C₂：y²=2p₂x；對C₂作變換（x，y）→（λ₂x，λ₂y）得拋物線C₃：y²=2p₃x，如此進行下去，對拋物線C_n：y²=2p_nx作變換（x，y）→（λ_nx，λ_ny），得拋物線C_n+1：y²=2p_n+1x，…．若p1=1 ， λn=(

)n，求數列{p_n}的通項公式p_n．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理）在平面直角坐標系xOy中，向量

=(0，1)，△OFQ的面積為2

，且

•

=m，