Question

（文做理不做）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，p、q、r分別是AB、AD、B₁C₁的中點．那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是

正六邊形

．
（理做文不做）已知空間三個點A（-2，0，2）、B（-1，1，2）和C（-3，0，4），設

a

=

AB

，

b

=

AC

．當實數k為

k=-

5

2

或k=2

時k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直．

Answer 1

分析：（文）利用平面的基本性質即可．
（理）利用向量的共線和由數量積判斷向量的垂直即可得出．

解答：解：（文）如圖所示：
正方體的過P、Q、R的截面圖形是正六邊形PMRSNQ．
下面證明：∵P、Q、R、S分別是AB、AD、B₁C₁的中點，
∴PQ∥BD∥B₁D₁∥RS，
∴P、Q、S、R四點共面，
取邊BB₁的中點M，連接RM并延長交CB的延長線與K點，連接PK．
則△BKM≌△B₁RM，∴BK=B₁R=BP，
可得Q、P、K三點共線，即M點在平面PQR上，
同理可知N點也在平面PQSR上，
故六點PQNSRM共面．可知其六邊長相等．
（理）∵三個點A（-2，0，2）、B（-1，1，2）和C（-3，0，4），
∴

a

=

AB

=（1，1，0），

b

=

AC

=（-1，0，2）．
∴k

a

+

b

=（k-1，k，2），k

a

-2

b

=（k+2，k，-4）．
∵（k

a

+

b

）⊥（k

a

-2

b

），
∴(k

a

+

b

)•(k

a

-2

b

)=0，
即（k-1）（k+2）+k²-8=0，化為2k²+k-10=0，解得k=2或k=-

5

2

．
故答案為（文）正六邊形，（理）k=2或k=-

5

2

．

點評：熟練掌握平面的基本性質和向量的共線與用數量積判斷垂直是解題的關鍵．