Question

（2007•寶坻區二模）已知向量

m

=（sinB，1-cosB），且與向量

n

=（2，0）所成角為

π

3

，其中A，B，C是△ABC的內角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由

m

與

n

的夾角為

π

3

，根據銳角三角函數定義列出關系式，利用半角公式及特殊角的三角函數值化簡，求出tan

π

2

的值，由B的范圍，求出

B

2

的范圍，利用特殊角的三角函數值求出

B

2

的度數，進而確定出B的度數，得到A+C的度數；
（II）由A+C的度數，表示出C，代入sinA+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，合并整理再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出正弦函數的值域，確定出sinA+sinC的范圍即可．

解答：解：（I）∵

m

=（sinB，1-cosB），且與向量

n

=（2，0）所成角為

π

3

，
∴

1-cosB

sinB

=tan

π

3

=

3

，
∴tan

B

2

=

3

，
又0＜B＜π，
∴0＜B＜

π

2

，
∴

B

2

=

π

3

，即B=

2π

3

，A+C=

π

3

；…（6分）
（II）由（1）可得sinA+sinC=sinA+sin（

π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA
=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin（A+

π

3

），
∵0＜A＜

π

3

，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
∴sin（A+

π

3

）∈（

3

2

，1]，
則sinA+sinC∈（

3

2

，1]，當且僅當A=C=

π

6

時，sinA+sinC=1．…（13分）

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，半角公式，數量積表示兩向量的夾角，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．