Question

某學生買了一本數學練習《小題狂做》，每次練習中有8道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項正確．評分標準是“每題僅選一個選項，選對得5分，不選或選錯得零分”．假設該生確定能做對前5題，第6-7題每題答對可能性均為p，第8題完全不能理解題意，只能隨意猜測，若該生做完了8道題得分不少于35分的概率是

5

9

．
（1）求p的值；
（2）該生要想每次選擇題的平均得分不少于35，是否還應繼續努力以提高正確率？

Answer 1

分析：（1）利用該生做完了8道題得分不少于35分的概率是

5

9

，建立等式，即可求p的值；
（2）確定該生得分的取值，求出相應的概率，可得數學期望，與35比較，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，該生確定能做對前5題得25分，其余3道題有2道題每題答對的概率是p，第8題答對的概率是

1

4

，
設該生做完了8道題得分不少于35分為事件M，則P（M）=

C

2 2

p2•

3

4

+

C

1 2

p(1-p)•

1

4

+p2•

1

4

=

5

9

，∴p=

2

3

；
（2）設該生得分為ξ，則ξ可取25，30，35，40
P（ξ=25）=(

1

3

)2•

3

4

=

1

12

；P（ξ=30）=

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•

3

4

+(

1

3

)2•

1

4

=

13

36

；
P（ξ=35）=

C

2 2

(

2

3

)2•

3

4

+

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•

1

4

=

4

9

；P（ξ=40）=(

2

3

)2•

1

4

=

1

9

∴Eξ=25×

1

12

+30×

13

36

+35×

4

9

+40×

1

9

=

1185

36

＜35
∴該生應繼續努力以提高正確率．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的期望，考查學生的計算能力，屬于基礎題．