Question

設函數f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）當b＞

1

2

時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）求函數f（x）的極值點；
（3）證明對任意的正整數n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）f（x）=x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞），求導f′（x）=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

，利用導數的正負確定函數的單調性；
（2）分情況討論，①當b≥

1

2

時，由（1）知函數沒有極值點；②當b＜

1

2

時，解f′（x）=0得兩個不同的解，x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

；再討論兩個解與-1的大小關系以確定函數的極值點；
（3）取b=-1，則f（x）=x²-ln（x+1），再令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），從而求導h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

＞0在[0，+∞）上恒成立，以確定函數的單調性從而證明恒成立問題．

解答： 解：（1）f（x）=x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

，
令g（x）=2x²+2x+b，
則g（x）在（-1，-

1

2

）上遞減，（-

1

2

，+∞）上遞增；
∴g_min（x）=g（-

1

2

）=-

1

2

+b＞0；
從而g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
∴f′（x）＞0；
即當b＞

1

2

時，f（x）在（-1，+∞）上單調遞增；
（2）①當b≥

1

2

時，由（1）知函數沒有極值點；
②當b＜

1

2

時，解f′（x）=0得兩個不同的解，
x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

；
若b＜0，由于x₁=

-1- 1-2b

2

＜-1，x₂=

-1+ 1-2b

2

＞-1；
∴f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x₂=

-1+ 1-2b

2

；
若0＜b＜

1

2

時，x₁=

-1- 1-2b

2

＞-1，x₂=

-1+ 1-2b

2

＞-1；
∴f（x）在x₁=

-1- 1-2b

2

取得極大值，在x₂=

-1+ 1-2b

2

取得極小值；
綜上所述，當b＜0時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x₂=

-1+ 1-2b

2

；
當0＜b＜

1

2

時，f（x）有極大值點x₁=

-1- 1-2b

2

，極小值點x₂=

-1+ 1-2b

2

；
當b≥

1

2

時，函數沒有極值點；
（3）證明：取b=-1，則f（x）=x²-ln（x+1），
令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
則h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

＞0在[0，+∞）上恒成立，
故h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
故當x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0；
即恒有ln（x+1）＞x²-x³；
故對任意的正整數n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于難題．