Question

【題目】已知橢圓過點，且其離心率為，過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別相交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定圓

【解析】

(1)根據橢圓的離心率和橢圓經過的點的坐標,代入橢圓方程中,求出a、b,即可得到橢圓C的方程.
(2)根據條件，分直線的斜率不存在和直線的斜率不存在兩種情況分別求出定圓的方程，,當直線的斜率存在時,設直線方程為,聯立方程組,令，,利用韋達定理,結合.推出,利用直線與圓相切,求出圓的半徑,得到圓的方程,即可得到結果.

解：（1）橢圓經過點，∴，又∵，解之得，.

所以橢圓的方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，由對稱性，設，.

∵，在橢圓上，∴，∴.

∴到直線的距離為，所以.

當直線的斜率存在時，設的方程為，

由得.

設，，則，.

∵，∴，

∴.

∴，即.

∴到直線的距離為，

故存在定圓與直線總相切.