Question

已知定義在上的函數，其中為常數.

（1）當是函數的一個極值點，求的值；

（2）若函數在區間上是增函數，求實數的取值范圍；

（3）當時，若，在處取得最大值，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3） .

【解析】

試題分析：(1) 本小題首先由可得，因為是是函數的一個極值點，所以；

(2) 本小題首先利用導數的公式和法則求得，根據函數在區間上是增函數，討論參數的不同取值對單調性的影響；

（3）本小題首先求得，然后求得導數，然后討論單調性，求最值即可.

試題解析：（1）由可得

因為是是函數的一個極值點，

所以

（2）①當時，在區間上是增函數，

所以符合題意

②當時，，令

當時，對任意的，，所以符合題意

當時，時，，所以，即符合題意

綜上所述，實數的取值范圍為

（3）當時，

所以

令，即

顯然

設方程的兩個實根分別為，則

不妨設

當時，為極小值

所以在上的最大值只能是或

當時，由于在上是遞減函數，所以最大值為

所以在上的最大值只能是或

由已知在處取得最大值，所以

即，解得

又因為，所以實數的取值范圍為

考點：1.導數公式與法則；2.函數的單調性；3.等價轉化.