Question

已知函數f(x)=asin2(

π

4

+x)+bcos2x，f（0）=1-

3

，且f(

π

2

)=1+

3

（1）求a，b的值及f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）由f（x）的圖象是否可以經過平移變換得到一個奇函數y=g（x）的圖象？若能，請寫出你的變換過程；否則說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式，由條件求出a、b的值，進一步化簡f（x）=1+2sin（2x-

π

3

），從而求出函數的最大值和最小值．
（2）由條件可得x∈[

π

4

，

π

2

]上時，m-3＜2sin（2x-

π

3

）＜1+m恒成立，故有

1

2

≤2sin（2x-

π

3

）≤2．由 1+m＞2，m-3＜

1

2

，求出實數m的取值范圍．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-

π

3

） 可得，把f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位得到y=1+2sin2x的圖象，再向下平移1個單位可得y=2sin2x的圖象，而y=2sin2x就是奇函數，從而得到結論．

解答：解：（1）f(x)=asin2(

π

4

+x)+bcos2x=a

1-cos( π 2 +2x)

2

+bcos2x=

a

2

+

1

2

a•sin2x+bcos2x．
由f（0）=1-

3

，且f(

π

2

)=1+

3

可得

a

2

+b=1-

3

，且

a

2

-b=1+

3

，∴a=2，b=-

3

．
∴f（x）=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

），故它的最大值為3，最小值等于-1．
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，即m-3＜2sin（2x-

π

3

）＜1+m．
由于

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴

1

2

≤2sin（2x-

π

3

）≤2．
∴1+m＞2，m-3＜

1

2

，解得1＜m＜

7

2

，
故實數m的取值范圍（1，

7

2

）．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）可得，
把f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位得到y=1+2sin2x的圖象，
再向下平移1個單位可得y=2sin2x的圖象，而y=2sin2x就是奇函數，
故由f（x）的圖象可以經過平移變換得到一個奇函數y=g（x）的圖象．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，三角函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，正弦函數的值域，函數的恒成立問題，以及函數的奇偶性，屬于中檔題．