Question

．對于定義域和值域均為[0，1]的函數f（x），定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），，…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．滿足f_n（x）=x的點x∈[0，1]稱為f的n階周期點．設f（x）=，則f的n階周期點的個數是（　　）

A．2n

B．2（2n-1）

C．2n

D．2n2

Answer 1

C

解：當x∈[0，]時，f₁（x）=2x=x，解得x=0
當x∈（ ，1]時，f₁（x）=2-2x=x，解得x=
∴f的1階周期點的個數是2
當x∈[0，]時，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0
當x∈（ ， ]時，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=
當x∈（ ， ]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=
當x∈（ ，1]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=
∴f的2階周期點的個數是2²
依次類推
∴f的n階周期點的個數是2ⁿ
故選C．