Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦點為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周長等于8

2

，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8

2

．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，探求k₁和k₂的關系；
（3）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三角形ABF₂的周長等于8

2

，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8

2

可求出a，b的值，再利用雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點進而可求出m的值．
（2）可利用斜率公式k=

y2-y1

x2-x1

表示出k₁，k₂再探求k₁和k₂的關系，關系無非就是和，差，積，商．
（3）牽涉到|AB|，|CD|，|AB|，|CD|需用到弦長公式，因而需要聯立方程，故需要把直線AB的方程設出來聯立方程代入計算即可．

解答：解：（1）由題意知，橢圓中4a=8

2

，a=2

2

，2ab=8

2

，b=2
所以橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1
又頂點與焦點重合，所以m=c²=a²-b²=4；
所以該雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

4

=1．
（2）設點P（x，y），x≠±2k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

k1•k2=

y2

x2-4

P在雙曲線上，所以

x2

4

-

y2

4

=1y²=x²-4所以k₁•k₂=1
（3）設直線AB：y=k₁（x+2）k₁≠0
由方程組

y=k1(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得（2k₁²+1）x²+8k₁²x+8k₁²-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以x1+x2=

-8k12

2k12+1

，x1x2=

8k12-8

2k12+1

由弦長公式|AB|=

1+k12

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k12)

2k12+1

同理|CD|=

1+k22

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k22)

2k22+1

由k1•k2=1，k2=

1

k1

代入得|CD|=

4 2 (1+k12)

k12+2

|AB|+|CD|=λ|AB|CD|，λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

所以存在λ=

3 2

8

使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立．

點評：此題第一問較簡單屬基礎，第二問較復雜，一般情況下的關系無非就是和，差，積，商，關鍵是P在雙曲線上，所以

x2

4

-

y2

4

=1y²=x²-4然后代入計算．第三問是平常較常見的類型，主要是計算繁瑣，只要計算不出錯都可以達到目的．