Question

已知橢圓，點在橢圓上，其左、右焦點為F₁、F₂．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若，過點的動直線l交橢圓于A、B兩點，請問在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個定點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓，點在橢圓上，
∴，∴a²=2b²，∴c²=a²-b²=b²，
∴=；
（Ⅱ）∵
∴（-c-b，-）•（c-b，-）=
∴
∴a=，b=1
∴橢圓方程為；
假設(shè)存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點．
當AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為：x²+y²=1①
當AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為：x²+（y+）²=②
由①，②知定點M（0，1）
下證：以AB為直徑的圓恒過定點M（0，1）．
設(shè)直線l：y=kx-，代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²--=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∵，
∴=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂-k（x₁+x₂）+=0
∴在x軸上存在定點M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過這個定點．
分析：（Ⅰ）利用橢圓，點在橢圓上，建立方程，確定幾何量的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）先求橢圓的標準方程，再由特殊情況猜想M（0，1），進而證明一般性的結(jié)論成立．
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標準方程，考查存在性問題，由特殊到一般是解題的關(guān)鍵．