Question

在平面直角坐標系xOy中，經過點（0，）且斜率為k的直線l與橢圓+y²=1有兩個不同的交點P和Q.

（1）求k的取值范圍；

（2）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數k，使得向量+與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）k＜-或k＞（2）沒有符合題意的常數k

解析:

（1）由已知條件知直線l的方程為y=kx+,

代入橢圓方程得+(kx+)²=1.

整理得+2kx+1=0                                             ①

直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

Δ=8k²-4=4k²-2＞0,

解得k＜-或k＞.

即k的取值范圍為(-∞,- )∪(,+∞).

（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則+=（x₁+x₂，y₁+y₂），

由方程①得x₁+x₂=-                                                   ②

又y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2                                                               ③

而A（，0），B（0，1），=（-，1）.

所以+與共線等價于x₁+x₂=-(y₁+y₂)，

將②③代入上式，解得k=.

由（1）知k＜-或k＞,故沒有符合題意的常數k.