Question

（2006•西城區一模）已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1，以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為

（x-

5

）²+y²=4，

，若動點A，B分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|AB|=2，則線段AB中點的軌跡方程為

16x²+y²=4

．

Answer 1

分析：根據雙曲線的方程，求出右焦點為F（

5

，0）．再求出漸近線方程，利用點到直線的距離公式算出半徑r=2，即可寫出所求圓的標準方程；設出A（m，2m），AB中點為（x，y），可得B（2x-m，2y-2m）根據B點在直線2x+y=0上，算出m=x+

1

2

y，再利用兩點的距離公式列式并消去參數m，化簡得16x²+y²=4，即為線段AB中點的軌跡方程．

解答：解：∵雙曲線C：

x2

4

-y2=1的a=2，b=1，漸近線方程為y=±

1

2

x
∴c=

a2+b2

=

5

，得右焦點為F（

5

，0）
∵圓C的圓心為右焦點F，且圓C與其漸近線2x±y=0相切
∴圓C的半徑r=

|2 5 |

4+1

=2，可得圓C的方程為（x-

5

）²+y²=4
設A點在直線2x-y=0上，其坐標為（m，2m），
∵AB中點為（x，y），∴B（2x-m，2y-2m）
∵B點在直線2x+y=0上，
∴2（2x-m）+2y-2m=0，得m=x+

1

2

y
∵|AB|=2，得|AB|²=（2x-2m）²+（2y-4m）²=4
∴將m=x+

1

2

y代入上式，可得16x²+y²=4，即為線段AB中點的軌跡方程
故答案為：（x-

5

）²+y²=4，16x²+y²=4

點評：本題在雙曲線中求滿足條件的圓的方程，并求動點的軌跡方程．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、圓的標準方程和動點軌跡的求法等知識，屬于中檔題．