Question

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列中，，且，其前項和為，且當(dāng)時，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）若，令，記數(shù)列的前項和為．設(shè)是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)，使等式成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，

     化簡得，

     又由，可推知對一切正整數(shù)均有，

     ∴數(shù)列是等比數(shù)列．            ---------------- 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比數(shù)列的首項為1，公比為，  

         ∴．

當(dāng)時，，

又，

∴              ----------8分

     （Ⅲ）當(dāng)時，，此時

          

              ，

           又，

           ∴

           ，

           當(dāng)時，

   ．

若，則等式為，不是整數(shù)，不符合題意．

若，則等式為，

是整數(shù)，∴是5的因數(shù)．

∴當(dāng)且僅當(dāng)時，是整數(shù)， ∴

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，存在正整數(shù)，使等式成立．