Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都為m，E是側棱CC₁的中點，求證AB₁⊥平面A₁BE．

Answer 1

證明：取BC的中點O作為坐標原點．
建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設m=2．
則A(-

3

，0，0)，B（0，-1，0），B₁（0，-1，2），A1(-

3

，0，2)，E（0，1，1）．
∴

AB1

=(

3

，-1，2)，

BE

=（0，2，1），

BA1

=(-

3

，1，2)．
∴

AB1

•

BE

=0-2+2=0，

AB1

•

BA1

=-3-1+4=0．
∴

AB1

⊥

BE

，

AB1

⊥

BA1

，即AB₁⊥BE，AB₁⊥BA₁．
又∵BE∩BA₁=B．
∴AB₁⊥平面A₁BE．