Question

（本小題滿分12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90º，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD。

（1）求直線FD與平面ABCD所成的角；

（2）求點D到平面BCF的距離；

（3）求二面角B—FC—D的大小。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90º，即EA⊥AB，而平面ABFE平面ABCD=AB，∴EA⊥平面ABCD。作FH∥EA交AB于H，則FH⊥平面ABCD。連接DH，則∠FDH為直線FD與平面ABCD所成的角。

    在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，

    ∴,∴∠FDH=,

    即直線FD與平面ABCD所成的角為。

（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，∴EA⊥平面ABCD。

     分別以AD,AB,AE所在直線為軸,軸,軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

     A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、

F(0,1,1),

     ∴

∵∴⊥平面BCF，

即=(0,1,1)為平面BCF的一個法向量，

又，

∴點D到平面BCF的距離為。

（3）∵，設為平面CDEF的一個法向量，

則令，得，

即。

又（1）知，為平面BCF的一個法向量，

∵〈,〉=，

且二面角B—FC—D的平面角為鈍角，

∴二面角B—FC—D的大小為120º。

 

【解析】略