Question

（2011•崇明縣二模）設函數f（x）=x²+1，若關于x的不等式f（

x

m

）+4f（m）≤4m²f（x）+f（x-1）對任意x∈[

3

2

，+∞）恒成立，則實數m的取值范圍是

（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先把原不等式整理后轉化為g（x）=（-

1

m2

+4m²+1）x²-2x-3≥0對任意x∈[

3

2

，+∞）恒成立，再利用二次函數恒成立的求解方法即可求實數m的取值范圍．

解答：解：原不等式不等式f（

x

m

）+4f（m）≤4m²f（x）+f（x-1）整理得g（x）=（-

1

m2

+4m²+1）x²-2x-3≥0，
即可以轉化為g（x）=g（x）=（-

1

m2

+4m²+1）x²-2x-3≥0對任意x∈[

3

2

，+∞）恒成立．
由于函數g（x）開口向上，對稱軸小于等于

3

2

，所以在x∈[

3

2

，+∞）上遞增．
故只須g（

3

2

）≥0⇒-

1

m2

+4m²-

5

3

≥0⇒12（m²）²-5m²-3≥0⇒m²≥

3

4

或m²≤-

1

3

⇒m≥

3

2

或m≤-

3

2

．
故答案為：（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）．

點評：本題主要考查二次函數的恒成立問題．二次函數的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．