Question

【題目】已知函數，其中實數．

（1）若，求函數在上的最值；

（2）若，討論函數的單調性．

Answer 1

【答案】（1）最大值是5-2ln5，最小值為2﹣2ln2；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出， 得增區間， 得減區間，從而求出函數在閉區間上的最值即可；（2）求出函數的導數，通過討論 的范圍，確定導函數的符號，從而求出函數的單調區間即可.

試題解析：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，5）	5
f'（x）		﹣	0	+
f（x）	1	↘	2﹣2ln2	↗	5﹣2ln5

從上表可知，∵f（5）﹣f（1）=4﹣2ln5>0，∴f（5）＞f（1），

函數f（x）在區間[1，3]上的最大值是5-2ln5，最小值為2﹣2ln2；

（2）f′(x)=1+ - ==，

①當a＞2時，x∈（0，2）∪（a，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（2，a）時，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調增區間為（0，2），（a，+∞），單調減區間為（2，a）；

②當a=2時，∵f′(x)= >0(x≠2)，∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）；

③當0＜a＜2時，x∈（0，a）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（a，2）時，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調增區間為（0，a），（2，+∞），單調減區間為（a，2）；

綜上，當a＞2時，f（x）的單調增區間為（0，2），（a，+∞），單調減區間為（2，a）；

當a=2時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）；

當0＜a＜2時，f（x）的單調增區間為（0，a），（2，+∞），單調減區間為（a，2）．

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.