Question

已知函數f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)
（1）若a=-2時，h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內單調遞增，求b的取值范圍；
（2）設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交于P，Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M，N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求R的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由h（x）=lnx+x²-bx，由函數的單調性知h′(x)=

1

x

+2x-b≥0，由此不等式能求出b的取值范圍．
（2）由題設條件，可設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有xR=xM=xN=

x1+x2

2

，令0＜x₁＜x₂，g′（x）=ax+b，假設R點存在，則

a(x1+x2)

2

+b=

2

x1+x2

，由此能推導出點R不存在．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)，
∴h（x）=lnx+x²-bx，
由h′(x)=

1

x

+2x-b≥0，
得到b≤

1

x

+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，
因為

1

x

+2x≥2

2

，所以b≤2

2

…..（4分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則有xR=xM=xN=

x1+x2

2

，
令0＜x₁＜x₂，g′（x）=ax+b，
假設R點存在，則

a(x1+x2)

2

+b=

2

x1+x2

…..（6分）
又因為lnx1=

1

2

a

x

2 1

+bx1，lnx2=

1

2

a

x

2 2

+bx2，
得到

lnx1-lnx2

x1-x2

=

1

2

a(x1+x2)+b=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=2(

x1 x2 -1

x1 x2 +1

)…..（8分）
令t=

x1

x2

，設h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（0，1），
h′(t)=

(t-1)2

(t+1)2

＞0，得到h（t）在（0，1）內單調遞增，
h（t）＜h（1）=0，假設不成立，所以點R不存在．…..（12分）

點評：本題考查函數的單調性的應用，探索滿足條件的點是否存在．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想、分類討論思想、函數方程思想的合理運用．