Question

【題目】已知定義在的奇函數滿足：①；②對任意均有；③對任意，均有.

（1）求的值；

（2）利用定義法證明在上單調遞減；

（3）若對任意，恒有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0（2）見解析（3）

【解析】

（1）用賦值法令，即可求解；

（2）根據函數的單調性定義，設，比較大小，做差，利用條件等式轉化為一個函數值，或對按已知等式賦值將函數值的差轉化為一個函數值，判斷該函數值的正負，即可得出結論；

（3）根據已知條件求出或，利用函數的單調性，不等式轉化為對任意,不等式或者恒成立，令，，則，，則不等式等價于……①或……②對任意恒成立，，，轉化二次函數最值的不等量關系，即可求解.

解：（1）在中，

令；

（2）由題知：對任意都有，

且對任意均有

證一：任取，則

，

因為，所以，

所以，

即即，也即在單調遞減；

證二：任取，設，，，，

則，

因為，所以，即，

也即在單調遞減；

（3）在中

令，

令，，

而為奇函數，故，

又在及上均單調遞減，

因此原不等式等價于對任意，

不等式或者恒成立，

令，，則，

，則不等式等價于

……①或……②

對任意恒成立，

法一：令，立，開口向上，

則不等式①；

對于②，當時，由，

即必不存在滿足②.

綜上，.

法二：

令，，

開口向上，對稱軸為，

且，，，

1°當即時，問題等價于

或，解得；

2°當即時，

問題等價于或，

解得；

3°當即時，

問題等價于或，

解得；

4°當即時，

問題等價于或，解得；

綜上，