Question

（2012•靜安區一模）已知函數f（x）=x²+ax+3-a，a∈R．
（1）求a的取值范圍，使y=f（x）在閉區間[-1，3]上是單調函數；
（2）當0≤x≤2時，函數y=f（x）的最小值是關于a的函數m（a）．求m（a）的最大值及其相應的a值；
（3）對于a∈R，研究函數y=f（x）的圖象與函數y=|x²-2x-3|的圖象公共點的個數、坐標，并寫出你的研究結論．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）=x²+ax+3-a圖象的對稱軸為x=-

a

2

．由f（x）在閉區間[-1，3]上是單調函數，能夠求出a的取值范圍．
（2）當a≥0時，m（a）=f（0）=3-a；當-4≤a＜0時，m（a）=f（-

a

2

）=-

1

4

a²-a+3；當a＜-4時，m（a）=f（2）=a+7．分段討論并比較大小得，能夠求出m（a）的最大值及其相應的a值．
（3）公共點的橫坐標x滿足x²+ax+3-a=|x²-2x-3|．即x是方程a（x-1）=|x²-2x-3|-x²-3的實數解．設h（x）=|x²-2x-3|-x²-3，由此入手進行研究，能夠得到結論．

解答：解：（1）函數f（x）=x²+ax+3-a圖象的對稱軸為x=-

a

2

．
因為f（x）在閉區間[-1，3]上是單調函數，所以-

a

2

≤-1或-

a

2

≥3．
故a≤-6，或a≥2．…（4分）
（2）當a≥0時，m（a）=f（0）=3-a；
當-4≤a＜0時，m（a）=f（-

a

2

）=-

1

4

a²-a+3；
當a＜-4時，m（a）=f（2）=a+7．…（2分）
所以，m（a）=

a+7，a＜-4 - 1 4 a2-a+3，-4≤a＜0 3-a，a≥0

，
分段討論并比較大小得，當a=-2時，m（a）有最大值4．…（6分）
（3）公共點的橫坐標x滿足x²+ax+3-a=|x²-2x-3|．
即x是方程a（x-1）=|x²-2x-3|-x²-3的實數解．
設h（x）=|x²-2x-3|-x²-3，
則直線y=a（x-1）與y=h（x）有公共點時的橫坐標與上述問題等價．
當x≤-1或x≥3時，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x-6；
解方程-2x-6=a（x-1），即（a+2）x=a-6，得x=

a-6

a+2

，a≠-2；…（1分）
當-1≤x≤3時，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x²+2x．
解方程-2x²+2x=a（x-1），
即2x²+（a-2）x-a=0，得x=-

a

2

或x=1；…（2分）
研究結論及評分示例：（滿分6分）
結論1：無論a取何實數值，點（1，4）必為兩函數圖象的公共點．…（1分）
結論2：（對某些具體的a取值進行研究）．…（2分）
當a=-2時，兩圖象有一個公共點（1，4）；
當a=-6時，公共點有2個，坐標為（1，4），（3，0）；
當a=2時，公共點有2個，坐標為（1，4）、（-1，0）．
（對每一個具體的a取值，結論正確給（1分），總分值不超過2分）
結論3：當-2＜a＜2，-6＜a＜-2時，公共點有3個，
坐標為（1，4）、（-

a

2

，|

a2

4

+a-3|）、（

a-6

a+2

，

|a2-17a+42|

(a+2)2

）．…（4分）

點評：本題考查二次函數的性質和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．