Question

已知函數

(1) 求函數的單調區間和極值；

(2) 求證：當時，

(3) 如果，且，求證：

Answer 1

【命題意圖】本小題主要考查函數與導數的綜合應用能力，具體涉及到用導數來研究函數的單調性、極值，并考查數學證明.

【試題解析】解：⑴∵=，∴=.　　　　　　　　　　　　(2分)

令=0，解得.

		1
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

∴在內是增函數，在內是減函數. 　　　　　　　　　　(3分)

∴當時，取得極大值=.　                              (4分)

⑵證明：,則

=.　　　　　　　　　　　　   　(6分)

當時，＜0，＞2，從而＜0，

∴＞0，在是增函數.

  　　　 　 　　　　 (8分)

⑶證明：∵在內是增函數，在內是減函數.

∴當，且時，、不可能在同一單調區間內.

不妨設，

由⑵的結論知時，＞0，∴.

∵，∴.

又，∴　　　　　　　　　　　　　　(12分)