Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0．
（1）若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；
（2）若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且以PQ為直徑的圓過原點，求實數m的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）將圓的方程化為標準方程寫出圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，根據直線l與圓沒有公共點得到d大于r，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據題意得出直線OP與直線OQ垂直，即向量的數量積為0并列出式子，將直線l方程與圓方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，代入式子列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答： 解：（1）將圓的方程化為標準方程得：（x+

1

2

）²+（y-3）²=9

1

4

-m，
∴圓心C（-

1

2

，3），半徑r²=9

1

4

-m＞0，即m＜

37

4

，
∵直線l與圓C沒有公共點，且C到直線x+2y-3=0的距離d²=(

|- 1 2 +2×3-3|

1+4

)2=

5

4

，
∴9

1

4

-m＜

5

4

，即m＞8，
則m的范圍為（8，

37

4

）；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因為以PQ為直徑的圓過原點，
所以△OQP為直角三角形，即OP⊥OQ，
所以

OP

•

OQ

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，①
由

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

得，5x²+10x+4m-27=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

4m-27

5

，
則y₁y₂=

3-x1

2

×

3-x2

2

=

9-3(x1+x2)+x1x2

4

=

15+ 4m-27 5

4

，
代入①得，

4m-27

5

+

15+ 4m-27 5

4

=0，解得m=3，
所以實數m的值是3．

點評：本題考查了直線與圓位置關系、相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、圓的標準方程及其性質、相互垂直與數量積的關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．