Question

【題目】已知函數.

（1）試確定函數的零點個數；

（2）設，是函數的兩個零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析 （2）證明見解析

【解析】

（1）由得，然后利用導數求出的單調性即可

（2）設，設，然后利用導數可得在遞增，，即，進而可得，即，再由的單調性即可得到.

（1）由得，令，

函數的零點個數即直線與曲線的交點個數，

∵，

由得；由得，

∴函數在單調遞增，函數在單調遞減.

∴當時，函數有最大值，，

又當時，，，當時，，

∴當時，函數沒有零點；

當或時，函數有一個零點；

當時，函數有兩個零點.

（2）由（1）知，不妨設，設，

∴，

由于，又易知是減函數，

當時，有，又，得，

所以在遞增，，即.

由得，又，

∴，

由在上單調遞增，得在單調遞減，

又，∴，即.