Question

（2012•德陽三模）將正方形ABCD沿對角線AC折起，當三棱錐B-ACD體積最大時，直線AD與BC所成角為（　　）

• A．

  π

  4

• B．

  π

  2

• C．

  π

  6

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：將正方形ABCD沿對角線AC折起，可得當三棱錐B-ACD體積最大時，BO⊥平面ADC．設B'是B折疊前的位置，連接B'B，可得
∠BCB'就是直線AD與BC所成角，算出△BB'C的各邊長，得△BB'C是等邊三角形，從而得出直線AD與BC所成角的大小．

解答：解：設O是正方形對角線AC、BD的交點，將正方形ABCD沿對角線AC折起，
可得當BO⊥平面ADC時，點B到平面ACD的距離等于BO，
而當BO與平面ADC不垂直時，點B到平面ACD的距離為d，且d＜BO
由此可得當三棱錐B-ACD體積最大時，BO⊥平面ADC．
設B'是B折疊前的位置，連接B'B，
∵AD∥B'C，∴∠BCB'就是直線AD與BC所成角
設正方形ABCD的邊長為a
∵BO⊥平面ADC，OB'?平面ACD
∴BO⊥OB'，
∵BO'=BO=

1

2

AC=

2

2

a，
∴BB'=BC=B'C=a，得△BB'C是等邊三角形，∠BCB'=60°
所以直線AD與BC所成角為

π

3

，
故選D

點評：本題將正方形折疊，求所得錐體體積最大時異面直線所成的角，著重考查了線面垂直的性質和異面直線所成角求法等知識，屬于中檔題．