Question

已知向量a=(x²,x+1),b=(1-x,t),若函數f(x)=a·b在區間（－1，1）上是增函數，求t的取值范圍.

Answer 1

解：解法1：依定義f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

則f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上可設f′(x)≥0.

∴f′(x)≥0t≥3x²-2x，在區間（-1，1）上恒成立，考慮函數g(x)=3x²-2x,由于g(x)的圖象是對稱軸為x=，開口向上的拋物線，故要使t≥3x²-2x在區間（-1，1）上恒成立t≥g(-1),即t≥5.

而當t≥5時，f′(x)在（-1，1）上滿足f′(x)＞0，即f(x)在（-1，1）上是增函數.

故t的取值范圍是t≥5.

解法2：依定義f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上可設f′(x)≥0.

∵f′(x)的圖象是開口向下的拋物線，

∴當且僅當f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0時，

f′(x)在（-1，1）上滿足f′(x)＞0,即f(x)在（-1，1）上是增函數.

故t的取值范圍是t≥5.