Question

如圖1-11，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形.

(1)當AC、CD、DB滿足怎樣的關系時，△ACP ∽△PDB？

(2)當△ACP ∽△PDB時，求∠APB的度數.

圖1-11

Answer 1

思路分析:本題是一個探索型的問題，考查相似三角形的判定及性質，它給出了一個條件，讓你自己再添加一個條件，可使兩個三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三條邊的關系，所以是對應邊就成比例.當三角形相似了，那么對應角相等，易求∠APB.

解：（1）∵△PCD是等邊三角形，?

∴∠PCD=∠PDC=60°，PD =PC =CD.?

從而∠ACP =∠PDB =120°.?

∴當=時，△ACP∽△PDB,?

即當CD²=AC·BD時，△ACP∽△PDB.?

（2）當△ACP∽△PDB時,∠APB =∠APC+∠CPD +∠DPB?

=∠PBD +60°+∠DPB?

=60°+60°=120°.