Question

如圖，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分別在線段上，B₁E=3EC₁，AC＝BC＝CC₁＝4.

（1）求證：BC⊥AC₁；
（2）試探究：在AC上是否存在點F，滿足EF／／平面A₁ABB₁，若存在，請指出點F的位置，并給出證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要以三棱柱為幾何背景考查線線垂直,線面垂直、線面平行、面面平行等數學知識，考查學生的邏輯推理能力和空間想象能力，考查學生的數形結合思想.第一問，由于AA₁⊥面ABC，所以利用線面垂直的性質得垂直面內的線BC，而，利用線面垂直的判定得面，所以BC垂直于面內的線；第二問，法一：先找到F點的位置，再證明，作出輔助線，因為，所以得到，而，即，所以且，所以四邊形AFEG為平行四邊形，所以，所以利用線面平行的判定得平面；法二：作出輔助線，利用線面平行的判定，可以推斷出平面，平面，利用面面平行的判定，得面平面，所以得平面.
試題解析：(1)∵AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BC⊥AA₁.（1分）
又∵BC⊥AC，AA₁，AC?面AA₁C₁C，AA₁∩AC＝A，∴BC⊥面AA₁C₁C，（3分）
又AC₁?面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁.（4分）

(2)(法一)當AF＝3FC時，FE∥平面A₁ABB₁.（7分）
理由如下：在平面A₁B₁C₁內過E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，連結AG.
∵B₁E＝3EC₁，∴，
又AF∥A₁C₁且，
∴AF∥EG且AF＝EG，
∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥AG，（10分）
又EF?面A₁ABB₁，AG?面A₁ABB₁，∴EF∥平面A₁ABB₁.（12分）
(法二)當AF＝3FC時，FE∥平面A₁ABB₁.（9分）
理由如下：在平面BCC₁B₁內過E作EG∥BB₁交BC于G，連結FG.

∵EG∥BB₁，EG?面A₁ABB₁，BB₁?面A₁ABB₁，
∴EG∥平面A₁ABB₁.∵B₁E＝3EC₁，∴BG＝3GC，
∴FG∥AB，又AB?面A₁ABB₁，FG?面A₁ABB₁，
∴FG∥平面A₁ABB₁.
又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面A₁ABB₁.（11分）
∵EF?面EFG，∴EF∥平面A₁ABB₁.（12分）