Question

【題目】如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD
（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，

∴AC⊥平面BEFD，

∵AC平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD

（2）解：設AC與BD的交點為O，由（1）得AC⊥BD，

分別以OA，OB為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，

∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，

∵DF∥BE，∴DF⊥BD，

∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2 ．

設OA=a，（a＞0），

由題設得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0， ），F（0，﹣ ，2），

設m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，

則 ，取z=2 ，得 =（ ），

設 是平面CEF的一個法向量，

則 ，取 ，得 =（﹣ ，1，2 ），

∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，

∴ =﹣ +9=0，解得a= ，

∵BE⊥平面ABCD，

∴∠BAE是直線AE與平面ABCD所成的角，

∴AB= =2，∴tan ．

∴直線AE與平面ABCD所成角的正切值為 ．

【解析】（1）推導出AC⊥BD，BE⊥AC，從而AC⊥平面BEFD，由此能證明平面ACF⊥平面BEFD．（2）設AC與BD的交點為O，分別以OA，OB為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AE與平面ABCD所成角的正切值．