Question

（2007•汕頭二模）定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C₁，曲線C₁與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O向曲線C₁作切線，切點為B（n，t）（n＞0），設曲線C₁在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；
（Ⅱ）令函數g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C₂，若存在實數b使得曲線C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當x，y∈N^*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（I）把函數f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））代入已知的新定義，根據對數的運算法則化簡，得到f（x）的解析式，把x=0代入f（x）的解析式即可求出m的值，求出f（x）的導函數，把x=n代入導函數求出的導函數值即為切線的斜率，然后用切點坐標表示出斜率，兩者相等列出n與t的關系式，把切點坐標代入f（x）得到另一個關于n與t的關系式，兩者聯立即可求出n與t的值，確定出點B的坐標，然后利用定積分的方法即可求出曲線C₁在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S；
（II）利用題中的定義確定出g（x）的解析式，求出g（x）的導函數，把x=x₀代入導函數求出的導函數值即為-8，列出一個關系式，記作（1），把-4＜x₀＜-1記作（2），由log₂（x³+ax²+bx+1）大于0，把x=x₀代入得到一個不等式，記作（3），由（1）解出b，代入（3）得到一個不等式與（2）聯立，把（2）中的兩個端點代入不等式中即可得到a的取值范圍．
（III）令函數h（x）=

ln(1+x)

x

，求出h（x）的導函數，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的導函數，根據p（x）導函數的正負，判斷p（x）的增減性，進而得到p（x）小于0，且得到h（x）導函數的正負，得到h（x）的增減性，利用函數的增減性即可得證．

解答：解：（Ⅰ）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9，
故A（0，9），…（1分）
又過坐標原點O向曲線C₁作切線，切點為B（n，t） （n＞0），f'（x）=2x-4．  
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

，
解得B（ 3，6 ），…（2分）
∴S=

∫

3 0

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3

3

-3x2+9x)|03=9．       …（4分）
（Ⅱ）g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1，
設曲線C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在實數b使得

3x02+2ax0+b=-8      (1)    -4＜x0＜-1              (2) x03+ax02+bx0＞0     (3)

有解，…（6分）
由（1）得b=-8-3x02-2ax0，代入（3）得-2x02-ax0-8＜0，…（7分）
∴由

2x02+ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10．                                               …（9分）
（Ⅲ）令h(x)=

ln(1+x)

x

 ， x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，…（10分）
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，  x＞0，
∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，
∵p（x）在[0，+∞）連續∴p（x）在[0，+∞）單調遞減，…（12分）
∴當x＞0時有，p（x）＜p（0）=0，
∴當x≥1時有，h'（x）＜0，
∴h（x）在[1，+∞）單調遞減，…（13分）
∴1≤x＜y時，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴當x，y∈N^*且x＜y時，F（x，y）＞F（y，x）．                …（14分）

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用定積分求曲線圍成的面積，會根據導函數的正負確定函數的單調性，是一道中檔題．