Question

如圖，某海域內的島嶼上有一直立信號塔AB，設AB延長線與海平面交于點O．測量船在點O的正東方向點C處，測得塔頂A的仰角為30°，然后測量船沿CO方向航行至D處，當CD=100（

3

-1）米時，測得塔頂A的仰角為45°．
（1）求信號塔頂A到海平面的距離AO；
（2）已知AB=52米，測量船在沿CO方向航行的過程中，設DO=x，則當x為何值時，使得在點D處觀測信號塔AB的視角∠ADB最大．

Answer 1

分析：（1）由題意知，在△ACD中，∠ACD=30°，∠DAC=15°，利用正弦定理可求得AD，在直角△AOD中，∠ADO=45°，從而可求得AO；
（2）設∠ADO=α，∠BDO=β，依題意，tanα=

100

x

，tanβ=

48

x

，可求得tan∠ADB=tan（α-β）=

52x

x2+4800

=

52

x+ 4800 x

，利用基本不等式可求得tan∠ADB的最大值，從而可得答案．

解答：解：（1）由題意知，在△ACD中，∠ACD=30°，∠DAC=15°，…（2分）
所以

CD

sin15°

=

AD

sin30°

，得AD=100

2

，…（5分）
在直角△AOD中，∠ADO=45°，所以AO=100（米）；             …（7分）

（2）設∠ADO=α，∠BDO=β，由（1）知，BO=48米，
則tanα=

100

x

，tanβ=

48

x

，…（9分）
tan∠ADB=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

100 x - 48 x

1+ 100 x • 48 x

=

52x

x2+4800

，…（11分）
所以tan∠ADB=

52

x+ 4800 x

≤

52

2 x• 4800 x

=

13 3

60

，…（13分）
當且僅當x=

4800

x

即x=40

3

亦即DO=40

3

時，
tan∠ADB取得最大值，…（14分）
此時點D處觀測信號塔AB的視角∠ADB最大．                      …（15分）

點評：本題考查正弦定理，考查兩角和與差的正切函數，突出考查基本不等式的應用，考查分析與運算能力，屬于中檔題．