Question

已知數列是首項為的等比數列，且滿足.
（1）  求常數的值和數列的通項公式；
（2）  若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數列，試寫出數列的通項公式；
（3） 在（2）的條件下，設數列的前項和為.是否存在正整數，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）所求常數的值為1且  （2）.
（3）時，

第一問中解：由得，，
又因為存在常數p使得數列為等比數列，
則即，所以p=1
故數列為首項是2，公比為2的等比數列，即.
此時也滿足，則所求常數的值為1且
第二問中，解：由等比數列的性質得：
（i）當時，；
（ii） 當時，，
所以
第三問假設存在正整數n滿足條件，則，
則（i）當時，
，