Question

已知函數，對定義域內任意，滿足，則正整數的取值個數是          

Answer 1

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分析：由條件對定義域內任意x₁，x₂，滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，問題可以轉化為f（x）_max-f（x）_min＜1，因此求函數的最值是關鍵．求最值時，利用換元法求解。
解答：
由題意，= cosα，=sinα(α∈[0，π/2]，
f(x)= cosα+sinα=sin(α +π/4)，
從而有f(x)_max= ，f(x)_min=，
∴-＜1解得a＜3+2，
∵a∈N^*，
∴a=1，2，3，4，5，
∴正整數的取值個數是5個。
點評：解答時等價轉化是解題的關鍵，求解函數的最值運用三角換元法，應注意參數角的范圍。