Question

選修4-4：坐標系與參數方程
橢圓中心在原點，焦點在x軸上．離心率為

1

2

，點P（x，y）是橢圓上的一個動點，若2x+

3

y的最大值為10，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：由橢圓離心率為

1

2

，可設橢圓的標準方程是

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，轉化為參數方程

x=2ccosθ y= 3 csinθ

，依題意可求得c的值，從而可得橢圓的標準方程．

解答：解：離心率為

1

2

，設橢圓的標準方程是

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，它的參數方程為

x=2ccosθ y= 3 csinθ

，（θ是參數）
∴2x+

3

y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）的最大值是5c，
依題意，5c=10，c=2，
∴橢圓的標準方程是

x2

16

+

y2

12

=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程與橢圓的簡單性質，考查其參數方程的應用，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．