Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP為等邊三角形．

(1)當(dāng)PB長為多少時(shí)，平面平面ABCD?并說明理由；

(2)若二面角大小為150°，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，平面平面，詳見解析（2）

【解析】

(1)根據(jù)平面和平面垂直可得線面垂直，從而可得,利用直角三角形知識可得的長；

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

解：（1）當(dāng)時(shí)，平面平面，

證明如下：在中，因?yàn)?/span>，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）分別取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，為的中點(diǎn)，所以,

又，所以，故為二面角的平面角，所以，

如圖，分別以的方向以及垂直于平面向上的方向作為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，所以，，，.

可得，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，

即，令，

可得，

設(shè)與平面所成角為，則有

所以直線與平面所成角的正弦值為.