Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）判斷直線l被圓C截得的弦長何時最長，何時最短？并求截得的弦長最短時，求m的值以及最短長度．

Answer 1

分析：（1）直線l的方程可化為（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，要使直線l恒過定點，則與參數的變化無關，從而可得

2x+y-7=0 x+y-4=0

，易得定點；（2）當直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長；當直線l⊥CP時，直線被圓截得的弦長最短

解答：解：（1）證明：直線l的方程可化為（2x+y-7）m+（x+y-4）=0（3分）聯立

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得

x=3 y=1

（5分）
所以直線恒過定點（3，1）（6分）
（2）當直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長．（8分）
當直線l⊥CP時，直線被圓截得的弦長最短
直線l的斜率為k=-

2m+1

m+1

，kCP=

1-2

3-1

=-

1

2

由-

2m+1

m+1

．(-

1

2

)=-1解得m=-

3

4

此時直線l的方程是2x-y-5=0
圓心C（1，2）到直線2x-y-5=0的距離為d=

|2-2-5|

5

=

5

）

|AP|=|BP|= r2-d2 = 25-5 =2 5

所以最短弦長是|AB|=2|AP|=4

5

（12分）

點評：本題考查直線恒過定點問題，采用分離參數法，借助于解方程組求解；圓中的弦長，應充分利用其圖象的特殊性，屬于基礎題