Question

【題目】如圖1，在邊長為的正方形中，、分別為、的中點，沿將矩形折起使得，如圖2所示，點在上，，、分別為、中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取中點，連結、，利用中位線可得且，由直棱錐性質可知且，即可證得四邊形是平行四邊形，進而，再由線面平行的判定定理說明即可；

（2）由余弦定理，已知以及勾股定理可說明，易證，由線面垂直的判定定理和性質定理可說明，由等腰三角形說明，進而可證平面，，則為二面角的平面角，最后在中求得答案.

（1）證明：（法一）

如圖取中點，連結、，

則在中由中位線定理可知且，

又由原正方形可得且

且，

四邊形是平行四邊形，

，

又平面，平面，

平面.

法二：

如圖，延長、交于點，連結，

且，

，

為中點，

中位線

又平面，面，

平面.

（2）解：（法一）

如圖，因為，，

所以，

又.所以，，

，

，

，，

又，，，

平面，平面，.

又，平面，面，

又為中點，即，所以，

，平面，，

為二面角的平面角.

在中，，，

，

二面角的余弦值為.

法二：

如圖，，，

，

又.所以，，

，

，

，，

又，，，

平面，平面，

.

又，

平面，面，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，

，

而是平面的一個法向量

設平面的法向量為，

由，即，

令，則，

面的一個法向量為，

設二面角大小為，由圖，.

.

二面角的余弦值為.