Question

動點到定點與到定直線,的距離之比為 ．
（1）求的軌跡方程；
（2）過點的直線（與x軸不重合）與（1）中軌跡交于兩點、.探究是否存在一定點E(t，0)，使得x軸上的任意一點(異于點E、F)到直線EM、EN的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1） ;（2）2

試題分析：（1）動點到定點與到定直線,的距離之比為 .根據兩點的距離即點到直線的距離公式，即可求出結論.
（2）根據題意假設直線方程聯立橢圓方程消去y，得到一個關于x的二次方程，寫出韋達定理得到M,N的坐標的關系式.因為題意要求x軸上的任意一點(異于點E、F)到直線EM、EN的距離相等，所以滿足.結合韋達定理，即可得到結論.
試題解析：（1）由題意得, ,
化簡得,,即,即點的軌跡方程
（2）若存在點E(t，0)滿足題設條件.并設M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，
當⊥x軸時，由橢圓的對稱性可知，x軸上的任意一點(異于點E、F)到直線EM、EN的距離相等
當與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．
，得，
所以
根據題意，x軸平分∠MEN，則直線ME、NE的傾斜角互補，即K_ME＋K_NE＝0．
設E(t，0)，則有(當x₁＝t或x₂＝t時不合題意)
又k≠0，所以，將y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)代入上式，得
又k≠0，所以，即，
，，將代入，解得t＝2．
綜上，存在定點E(2，0)，使得x軸上的任意一點(異于點E、F)到直線EM、EN的距離相等.