【題目】已知直線與拋物線交于兩點.
（1）求證：若直線
過拋物線的焦點，則
；
（2）寫出（1）的逆命題，判斷真假，并證明你的判斷.
【答案】（1）證明見解析；（2）逆命題：若
，則直線過拋物線的焦點；真命題.見解析
【解析】
（1）不妨設拋物線方程為
，則焦點坐標為
，
當直線的斜率不存在時，直線方程為
代入，驗證.當直線的斜率存在時，設直線方程為
代入，得
，再由韋達定理驗證.
（2）逆命題：直線
過拋物線的焦點. 是真命題.證明：當直線的斜率不存在時，設直線方程為
代入，解得
，再由
，求解.當直線的斜率存在時，設直線方程為
代入，得
，由韋達定理得
再由，求得
與
的關系現求解.
（1）設拋物線方程為 ，則焦點坐標為，
兩個交點
，
當直線的斜率不存在時，直線方程為，
代入
，得
，
所以.
當直線的斜率存在時，設直線方程為，
代入，
得 ，
由韋達定理得 .
所以若直線過拋物線的焦點時，則.
（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點. 是真命題
證明：當直線的斜率不存在時，設直線方程為 代入得
因為，
所以
，
解得
，
所以直線過拋物線的焦點.
當直線的斜率存在時，設直線方程為，
代入，
得 ，
由韋達定理得 ，
又因為，
所以
，
所以直線的方程
，
所以直線過定點
即直線過拋物線的焦點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是矩形，面
底面
，且
是邊長為
的等邊三角形， 
在
上，且
面
.
（1）求證: 
是
的中點；
（2）在
上是否存在點
，使二面角
為直角？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，設橢圓
.
(1)過橢圓
的左焦點，作垂直于
軸的直線交橢圓于
、
兩點，若
，求實數
的值；
(2)已知點
，
、
是橢圓上的動點，
，求
的取值范圍；
(3)若直線
與橢圓交于
、
兩點，求證：對任意大于3的實數，以線段
為直徑的圓恒過定點，并求該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義函數
，
(0，
)為
型函數，共中
．
（1）若
是
型函數，求函數
的值域；
（2）若是
型函數，求函數極值點個數；
（3）若是
型函數，在上有三點A、B、C橫坐標分別為
、
、
，其中＜＜，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，且
，平面
平面，
，點
為線段
的中點，點
是線段
上的一個動點．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）設二面角
的平面角為
，試判斷在線段上是否存在這樣的點，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了解學生的體質健康狀況，對高一、高二兩個年級的學生進行了體質測試．現從兩個年級學生中各隨機選取20人，將他們的測試數據，用莖葉圖表示如圖：《國家學生體質健康標準》的等級標準如表．規定：測試數據≥60，體質健康為合格．
等級 | 優秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
測試數據 |
|
|
|
|
（Ⅰ）從該校高二年級學生中隨機選取一名學生，試估計這名學生體質健康合格的概率；
（Ⅱ）從兩個年級等級為優秀的樣本中各隨機選取一名學生，求選取的兩名學生的測試數據平均數大于95的概率；
（Ⅲ）設該校高一學生測試數據的平均數和方差分別為
，高二學生測試數據的平均數和方差分別為
，試估計
、
的大小．（只需寫出結論）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表：
滿意 | 不滿意 | |
男顧客 | 40 | 10 |
女顧客 | 30 | 20 |
（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；
（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？
附：
．
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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