Question

甲有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子，箱內共有6個球，且每種顏色的球至少有一個；乙有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子．兩人各自從自己的箱子中任取一球，規定：當兩球同色時為甲勝，兩球異色時為乙勝．
（1）當x=1，且甲勝的概率為時，求y與z；
（2）當x=2，y=3，z=1時，規定甲取紅，白，黃而勝的得分分別為1分，2分，3分，負則得0分，記甲得分為隨機變量ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：兩人各自從自己的箱子中任取一球，共有36種不同的取法，并且得到：甲獲勝的不同取法有：3+2y+z，再根據等可能事件的概率公式得到：2y+z=6，結合y+z=5，可得答案．
（2）由題意可得：ξ可能取的數值為0，1，2，3，再分別求出其發生的概率，進而得到ξ的分布列與數學期望．
解答：解：（1）由題意可得：兩人各自從自己的箱子中任取一球，共有6×6=36種不同的取法，
∵x=1，即紅球有1個，
∴甲獲勝的不同取法有：1×3+y×2+z×1=3+2y+z，
∴P（甲勝）=，整理可得：2y+z=6，
又∵x=1，
∴y+z=5，
∴解得y=1，z=4．
（2）由題意可得：ξ可能取的數值為0，1，2，3．
∴P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，
∴P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1---=，
∴ξ的分布列為：

ξ		1	2	3
P

∴ξ的數學期望為．
點評：本題主要考查等可能事件的概率公式，以及考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，此題屬于基礎題．