Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x，y）（x≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點坐標為，準線方程為．
（Ⅱ）設直線PA的方程為y-y=k₁（x-x），直線PB的方程為y-y=k₁（x-x）．點P（x，y）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組的解．于是，故，又點P（x，y）和點B（x₂，y₂）的坐標是方程組的解．于是，故．由此能夠證明線段PM的中點在y軸上．
解答：解：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點坐標為，準線方程為．
（Ⅱ）證明：設直線PA的方程為y-y=k₁（x-x），直線PB的方程為y-y=k₁（x-x）．
點P（x，y）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x-y=0，于是，故③
又點P（x，y）和點B（x₂，y₂）的坐標是方程組的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x-y=0．于是，故．
由已知得，k₂=-λk₁，則． ⑥
設點M的坐標為（x_M，y_M），由，則．
將③式和⑥式代入上式得，即x_M+x=0．
∴線段PM的中點在y軸上．
點評：本題考查拋物線的焦點坐標和準線方程的求法，證明線段PM的中點在y軸上．解題時要熟練掌握拋物線的性質，認真審題，合理地進行等價轉化．