Question

已知向量

.

a

=（Asin

x

3

，Acos

x

3

），

.

b

=（cos

π

6

，sin

π

6

）函數f（x）=

.

a

•

.

b

（A＞0，x∈R），且f（2π）=2．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）設α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

16

5

，f（3β+

5π

2

）=-

20

13

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積和兩角和的正弦公式即可得出；
（2）利用誘導公式、平方關系、兩角和的余弦公式即可得出．

解答：解：（1）依題意得f（x）=Asin

x

3

cos

π

3

+Acos

x

3

sin

π

6

=Asin(

x

3

+

π

6

)，
∵f（2π）=2，∴Asin(

2π

3

+

π

6

)=2，∴Asin

5π

6

=2，解得A=4．
∴f（x）=4sin(

x

3

+

π

6

)．
（2）由f(3α+π)=

16

5

，得4sin(

3α+π

3

+

π

6

)=

16

5

，即4sin(α+

π

2

)=

16

5

，
∴cosα=

4

5

又∵α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
由f(3β+

5π

2

)=-

20

13

，得4sin(

3β+ 5π 2

3

+

π

6

)=-

20

13

，即sin(β+π)=-

5

13

．
∴sinβ=

5

13

，
又∵β∈[0，

π

2

]，∴cosβ=

1-( 5 13 )2

=

12

13

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．

點評：熟練掌握向量的數量積運算和兩角和的正弦公式、誘導公式、平方關系、兩角和的余弦公式是解題的關鍵．