Question

【題目】已知函數，(為常數)

(1)若

①求函數在區間上的最大值及最小值。

②若過點可作函數的三條不同的切線，求實數的取值范圍。

(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）。

【解析】

(1)①利用導數求出函數的最值；②設曲線切線的切點坐標為，則，故切線方程為，

因為切線過點，所以有三個不同的解；

（2）不等式等價于，令，明確函數的最值，對a分類討論，即可得到結果。

(1)因為，所以，從而。

①令，解得或，列表：

所以，，。

②設曲線切線的切點坐標為，則，

故切線方程為，

因為切線過點，所以，

即，

令，則，

所以，當時，，此時單調遞增，

當時，，此時單調遞減，

所以，，

要使過點可以作函數的三條切線，則需，解得。

（2）當時，不等式等價于，

令，則，

所以，當時，，此時函數單調遞減；

當時，，此時函數單調遞增，故。

若，則，此時；

若，則，從而；

綜上可得。