【題目】如圖，已知
為拋物線
上一點，斜率分別為
，
的直線PA，PB分別交拋物線于點A，B（不與點P重合）.
（1）證明：直線AB的斜率為定值；
（2）若△ABP的內(nèi)切圓半徑為
.
（i）求△ABP的周長（用k表示）；
（ii）求直線AB的方程.
【答案】（1）證明見解析；（2）（i）
；（ii）
.
【解析】
（1）首先設(shè)直線PA的方程為
，與拋物線
聯(lián)立，求得點
的坐標(biāo)，將
，求得點
的坐標(biāo)，再求直線
的斜率；
（2）（ⅰ）利用弦長公式，分別求三角形的三邊長，
（ⅱ）首先求點
到直線的距離，再利用等面積公式轉(zhuǎn)化方程求
，最后求直線的方程.
（1）設(shè)直線PA的方程為，與拋物線聯(lián)立，
得
，
易知
，
，
所以直線AB的斜率
（定值）.
（2）由（1）得直線AB的方程為
，
所以點P到直線AB的距離
.
，
，
.
（ⅰ）求
的周長
；
（ⅱ）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則
，
，
即
，解得
.
所以直線AB的方程為.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知左、右焦點分別為
的橢圓
過點
，且橢圓C關(guān)于直線x=c對稱的圖形過坐標(biāo)原點．
(I)求橢圓C的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程。
(II)圓
與橢圓C交于A,B兩點，R為線段AB上任一點，直線
交橢圓C于P，Q兩點，若AB為圓
的直徑，且直線的斜率大于1，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為
，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．
（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為
,求的最大值點
．
（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為
的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．
（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為
，求
;
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+
)，則下面結(jié)論正確的是( )
A. 把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移
個單位長度，得到曲線C2
B. 把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移
個單位長度，得到曲線C2
C. 把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D. 把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點F1為橢圓E：
(a>b>0)的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等腰直角三角形，直線
與橢圓E有且僅有一個交點M.
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線與y軸交于P，過點P的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求實數(shù)λ的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“珠算之父”程大位是我國明代著名的數(shù)學(xué)家，他的應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)綜》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)四升五，上梢四節(jié)三升八，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量．)用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求得中間兩節(jié)竹的容積為
A. 2.2升B. 2.3升
C. 2.4升D. 2.5升
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系
，點A為曲線上的動點，點B在線段OA的延長線上，且滿足
，點B的軌跡為
．
(1)求，的極坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點C的極坐標(biāo)為(2，0)，求△ABC面積的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
、
是兩個正整數(shù)（允許與相等），
、
是兩個由若干個實數(shù)組成的集合，且
，
（允許
），集合滿足：若
、
、
、
，且
，則或
且
，或
（
且
）.定義一個集合
.試求出
的最小可能值（
表示集合
的元素個數(shù)）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
為
上的偶函數(shù)，
為上的奇函數(shù)，且
.
（1）求和的表達式；
（2）判斷并證明的單調(diào)性；
（3）若存在
使得不等式
成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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