Question

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖（1）所示．墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH．圖（2）、圖（3）分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖．
（1）請畫出該安全標識墩的側（左）視圖；
（2）求該安全標識墩的體積；
（3）證明：直線BD⊥平面PEG．

Answer 1

分析：（1）由題意直接畫出三視圖的側（左）視圖；
（2）根據三視圖的數據直接求該安全標識墩的體積；
（3）如圖，連接EG、HF及BD，EG與HF相交于O點，連接PO，證明直線BD⊥平面PEG，只需證明BD∥HF，HF⊥平面PEG．即可．

解答：解：（1）側視圖同正視圖：
（2）該安全標識墩的體積為V=V_P-EFGH
+V_ABCD-EFGH=

1

3

×40²×60+40²×20
=32000+32000=64000（cm³）．
（3）證明：如圖，連接EG、HF及BD，EG與
HF相交于O點，連接PO，
由正四棱錐的性質可知，PO⊥平面EFGH，
∴PO⊥HF．又∵EG⊥HF，
∴HF⊥平面PEG．
又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG．

點評：本題是基礎題，考查幾何體的三視圖，三視圖的畫法，幾何體的體積的求法，準確判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．線面關系的證明，是中檔題．