Question

【題目】設a，b，c，d均為正數，且a+b=c+d，證明：
（1）若abcd，則++;
（2）++是|a-b||c-d|的充要條件

Answer 1

【答案】
（1）

∵（+）2 =a+b+2,（+）2=c+d+2,

由題設a+b=c+d，abcd，得+）2（+）2，

∴++。

（2）

若|a-b||c-d|，則（a-b）2（c-d）2，即（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd

∵a+b=c+d，

∴abcd，

由（I）得++。

若++，則（+）2（+）2，即a+b+2c+d+2

∵a+b=c+d，所以abcd，于是（a-b）2=（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd=（c-d）2.

∴|a-b||c-d|

綜上所述，++是|a-b||c-d|的充要條件。

【解析】（I）要證明++ ， 只需證明（+）2（+）2;展開結合已知條件易證；
（Ⅱ）充要條件的證明需要分為兩步，即充分條件的證明和必要條件的證明．證明的關鍵是尋找條件和結論以及它們和已知之間的聯系．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解歸納推理的相關知識，掌握根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理，以及對類比推理的理解，了解根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做類比推理．