Question

如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，點E是A′A的中點，A′A⊥平面ABCD．
（1） 求證：A′C∥平面BDE；
（2） 求證：平面A′AC⊥平面BDE
（3） 求平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）設BD交AC于M，連接ME．根據中位線定理可知ME∥A'C，而ME?平面BDE，A'C?平面BDE，滿足線面平行的判定定理，從而得到結論；
（2）欲證平面A′AC⊥平面BDE，根據面面垂直的判定定理可知在平面BDE內一直線與平面A′AC垂直，而根據線面垂直的判定定理可知BD⊥平面A'AC，而BD?平面BDE，滿足定理所需條件；
（3）平面BDE與平面ABCD交線為BD，根據二面角平面角的定義可知銳角∠AME為平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的平面角
在直角三角形AME求出此角即可．

解答：解：（1）證明設BD交AC于M，連接ME．
∵ABCD為正方形，
所以M為AC中點，
又∵E為A'A的中點
∴ME為△A'AC的中位線
∴ME∥A'C
又∵ME?平面BDE，A'C?平面BDE
∴A'C∥平面BDE．（4分）
（2）∵ABCD為正方形
∴BD⊥AC
∵AA'⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA'⊥BD
∴BD⊥平面A'AC，而BD?平面BDE
∴平面A′AC⊥平面BDE
（3）平面BDE與平面ABCD交線為BD
由（2）已證BD⊥平面A'AC．
∴BD⊥AM，BD⊥EM
∴銳角∠AME為平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的平面角
∵AA'⊥平面ABCD∴AA'⊥AM
在邊長為a的正方形中AM=

1

2

AC=

2

2

a
而AE=

1

2

AA'=

a

2

∴tan∠AME=

AE

AM

=

2

2

為所求．

點評：本題主要考查了線面平行的判定，面面垂直的判定和二面角的定理等有關知識，同時考查了空間想象能力、計算能力、轉化與劃歸的思想，屬于綜合題．