Question

如圖,已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-,求直線AB的斜率.

(2)記△GFD的面積為S₁,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S₂.試問(wèn):是否存在直線AB,使得S₁=S₂?說(shuō)明理由.

Answer 1

【解析】(1)依題意,直線AB的斜率存在,

設(shè)其方程為y=k(x+1),

將其代入+=1,

整理得(4k²+3)x²+8k²x+4k²-12=0,

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),所以x₁+x₂=,

故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為=.

依題意,得=-,解得k=±.

(2)假設(shè)存在直線AB,使得S₁=S₂,顯然直線AB不能與x,y軸垂直.

由(1)可得G,

因?yàn)镈G⊥AB,所以×k=-1,

解得x_D=,即D,

因?yàn)椤鱃FD∽△OED,

所以S₁=S₂⇔|GD|=|OD|,

所以

=,

整理得8k²+9=0,因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解,

所以不存在直線AB,使得S₁=S₂.