Question

已知f(x)=x3+

1

2

mx2-2m2x-4（m為常數，且m＞0）有極大值-

5

2

，
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）的斜率為2的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，令f′（x）=0，進而確定函數的單調性，可得函數的極值，利用函數的極大值為-

5

2

，即可求得m的值；
（Ⅱ）求導函數，令f′（x）=2，由此可求切點的坐標，進而可得切線方程．

解答：解：（Ⅰ）求導函數f′（x）=3x²+mx-2m²=（x+m）（3x-2m）
令f′（x）=0，可得（x+m）（3x-2m）=0，∴x=-m或x=

2m

3

…．（2分）        
由列表得：

x	(-∞， -m)	-m	(-m， 2 3 m)	2 3 m	( 2 3 m， +∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

…．（4分）
∴f（-m）=-m3+

1

2

m3+2m3-4=-

5

2

，∴m=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=x3+

1

2

x2-2x-4，則f'（x）=3x²+x-2
令f′（x）=2，可得3x²+x-2=2，∴x=1或x=-

4

3

…（8分）
由f(1)=-

9

2

，f(-

4

3

)=-

76

27

．
所以切線方程為：y+

9

2

=2(x-1)即4x-2y-13=0；…（10分）
或y+

76

27

=2(x+

4

3

)即54x-27y-4=0…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查導數的幾何意義，正確求導是關鍵．