Question

【題目】如圖，在底面是正三角形的三棱錐中,D 為PC的中點，，

（1）求證：平面 ；

（2）求 BD 與平面 ABC 所成角的大小；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）（3）

【解析】

（1）推導出，，由此能證明平面．（2）以為原點，為軸，為軸，平面中垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出與平面所成角．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值．

證明：（1），，，

底面是正三角形，，

，，

，，平面，

平面．

（2）以為原點，為軸，為軸，平面中垂直于的直線為軸，

建立空間直角坐標系，

則，0，，，0，，，，，0，，

，．

平面的法向量為，0，，

記與平面所成的角為，

則，

，

與平面所成角為．

（3）設平面的法向量為，，，

則，取，得，2，．

記二面角的大小為，

則，

二面角的余弦值為．